כל העובר לפני התיבה אפילו לומר סליחות ותחנונים צריך להתעטף בטלית גדול מפני
כבוד הציבור ואפילו לומר קדיש יתום יש מי שאומר שצריך להתעטף ולכן מותרים להתעטף אפילו בלילה דהדבר ידוע שאין מתכוונים לשם מצות ציצית אלא מפני כבוד הציבור
Anyone who passes before the ark, even to say slichot and supplications, must wrap in a tallit gadol due to k'vod tzibbur; one says that even one who says Kaddish Yatom must wrap and therefore it is permitted to wrap, even at night--for it is known that it would not be with the intent of fulfilling the mitzvot of tzitit but rather for k'vod tzibbur. [Megan's translation]
The gemara in Rosh Hashana describes that God donned a tallit like a Shaliach Tzibbur at the moment He revealed to Moshe the thirteen attributes; and from here we learn that every shaliach tzibbur who leads davenen dons the tallit.
מהרש”א חידושי אגדות ראש השנה יז:ב
אלמלא מקרא כתוב א”א לאומרו כו’ ולא נאמר מקרא אלא כדי לשבר את האוזן שכן היה נראה למשה בנבואה כאלו הקדוש ברוך הוא מתעטף כש”ץ והיינו ויעבור וגו’ כש”ץ המעביר טליתו על פניו וקורא כסדר הזה עשה הקדוש ברוך הוא להורות שכן יעשו כל זמן כו’ ובספר ישן מחכמת המקובלים מצאתי וז”ל נתעטף הקדוש ברוך הוא באותו טלית לבנה שנתעטף בברייתו של עולם שעליו נאמר עוטה אור כשלמה שמבהיק מסוף עולם ועד סופו
Maharsha, Chidushei Agadot, 17b
If Scripture had not said it, it would not have been possible to say it. And it was not said in Scripture except in order to make it intelligible, for it appeared to Moses in a prophecy as if the Holy One Blessed be He wrapped Himself like a prayer leader covers his face with his tallit and reads this order of prayer; so did the Holy One Blessed be He to teach that thus they should do each time. And in an old book from the wisdom of the Kabbalists I found, and this is their words: the Holy One Blessed be He covered Himself in that very white tallit that He covered Himself in the creation of the world,upon which it says (Ps. 104:2): "[You] enwrap Yourself with light like a garment; [You] extend the heavens like a curtain."


